▲虹。（府上图)

全文共4935字，阅读大致需要12分钟

当地时候7月23日上昼，2026年数学大会在好意思国费城开幕，现场揭晓2026年菲尔兹得主。后生数学虹、邓煜双双获。这是数学次获此盛誉，杀青了数学发展的历史阻碍。

其中，1991年出身于广西桂林的虹因攻克“三维挂谷猜想”等问题摘得这数学界的荣誉——2025年，她与和谐者约书亚·扎尔提交了篇127页的论文，给出了困扰数学界百年的三维挂谷集猜想的无缺评释，陶哲轩盛赞其为"几何测度论域的惊东谈主推崇"。今天咱们重旧稿，起重回阿谁猜想被击破的起始。

本文发于南周末 未经授权 不得转载

文｜南周末特约撰稿 左力

职守裁剪｜朱力远

2025年2月24日，纽约大学科朗数学科学究诘所助理讲授虹与不列颠哥伦比亚大学助理讲授约书亚·扎尔 （Joshua Zahl）在预印本网站（arXiv）上，提交了篇题为《凸集的并集的体积预计和三维挂谷集猜想》（Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions）的论文。在这篇127页的论文中，虹和扎尔给出了三维挂谷集猜想的个评释。

稍后，陶哲轩在我方的博客上对这篇论文作念了解读，并将其评价为“几何测度论域的惊东谈主推崇”。

1

挂谷问题与挂谷集猜想

挂谷集猜想，是个距今如故过百年历史的数学猜想。

在1917年，日本数学挂谷宗建议了个日后被称为“挂谷问题”的数常识题。这问题有个形象的生涯化版块，被称为“武士如厕”问题：“位武士在上茅厕时遭到敌东谈主紧要。时之间矢石如雨，而他惟一根短棒用来身。为了挡住射向他的箭矢，武士需要挥舞短棒旋转周。但武士所处的茅厕很小，是以应当使短棒扫过的面积尽可能小。那么，这根短棒扫过的面积小不错小到几许？”

这问题的严格数学描写则是这么的：“平面上是否存在个面积小的区域D，使得个长度为1的单元线段不错在D内旋转360°？”这么的区域D，就被称为挂谷集（Kakeya set）。而所谓的挂谷问题，便是在问，通盘平面上的挂谷集的面积小不错是几许。

然，这根线段按照不同的式选拔，所扫过的挂谷集的面积是不同的。举例，如若线段绕着某个端点旋转周，其扫过的区域为个半径为1的圆盘琼中管道保温，面积为π。而如若线段绕着中点旋转周，其扫过的区域为个半径为1/2的圆盘，面积为π/4。

挂谷宗本东谈主以为，面积小的平面挂谷集为个刚好不错容纳单元线段的三瓣线围成的区域。此时，这个平面挂谷集的面积为π/8。

在1920年，前苏联数学阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）在究诘黎曼积分的时候，给出了个被称作贝西科维奇集的平面区域。这个贝西科维奇集，包含了指向通盘向的单元线段。同期，它亦然个勒贝格测集。

在数学中，测度是种将几何空间的度量（长度、面积、体积）广义化后产生的成见。所谓勒贝格测度，是法国数学昂利·勒贝格（Henri Lebesgue）建议的种测度。在时常的情况下，勒贝格测度等同于无为的长度、面积、体积等等。然而对于许多法以无为的式界说“体积”的空间区域，勒贝格测度也不错给出其测度值。而所谓的勒贝格测集，便是勒贝格测度为的集中。也便是说，勒贝格测集的“体积”为。

作为勒贝格测集的贝西科维奇集，其“面积”也就为。使用些数学技能，就不错使得长度为1的线段在贝西科维奇集上，以尽可能小的扫过面积取悦移动。这么就不错构造出个平面挂谷集，况且这个平面挂谷集的面积不错限趋近于。

就这么，贝西科维奇的究诘给出了挂谷问题的个出东谈主猜度的解答：平面挂谷集的面积，不错限趋近于。也便是说，在平面上存在个面积很是很是小的区域D，使得长度为1的线段，不错在区域D内旋转360°。正因为此，贝西科维奇集也被称为挂谷集。

挂谷集的个例子，左侧为绕单元线段中心旋转的圆，面积为π/4，右侧为刚好不错容纳单元线段的三瓣线，面积为π/8。（府上图）

自贝西科维奇的职责起，挂谷集这平面几何中的问题，就和分析学辩论到了起。挂谷集也初始被数学们用于构造分析学中的反例。除此以外，数学们也缓缓发现，挂谷集与诸如偏微分程、数论、组合等数学分支中的某些问题有着刻的辩论。举例，有很无数学齐以为，长入分析中的两大中枢问题：胁制问题（The restriction problem）和博纳赫-里斯猜想（Bochner-Riesz conjecture）齐与挂谷集小粗拙多小有平直的干系。

这些有关问题的究诘，使得数学们在不断化对于挂谷问题的探索。

对于挂谷问题，个很当然的广便是将挂谷集从平面广到维度的空间。即：个长度为1的线段不错在n维欧式空间中的个区域D内开放，况且线段的两个端点，要遍历空间中的每个向。这么的n维空间中的区域D，就被称作n维挂谷集。

由此，数学们建议了挂谷集猜想：“n维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于n。”

2

体积与维数

在挂谷集猜想的描写中，有两个很首要的成见，豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数。

维数是个很常见的数学成见。普通生涯中遭受的维数般齐是正整数。举例，直线是维的，平面是二维的，而咱们所生涯的这个空间是三维的。这种维数被称为拓扑维数。

每个维数的空间里，齐有各自的“体积”。在维时体积口角段的长度琼中管道保温，二维时体积是平面区域的面积，三维时则是几何体的体积。

而在不同维度空间之间，则有着不能超越的畛域。维的直线段是惟一长度而莫得宽度的，再多的长度为1的单元线段，也填不悦个单元正形的里面。相同的，二维的平面区域是莫得厚度的，再多的单元正形也填不悦个单元立体的体积。

这切看上去齐瓜分明，层序分明。

然而，在1890年和1891年，意大利数学朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）和德国数学大卫·希尔伯特先后构造出了皮亚诺弧线和希尔伯特弧线。这两条蓝本应该是维的弧线，设备保温施工却有着个神奇的特：它们齐粗拙填满个单元正形的里面。也便是说，皮亚诺弧线和希尔伯特弧线，这两个蓝本应该是维的弧线，却有着二维的面积。

在单元正形内生成希尔伯特弧线的前六步，n步的希尔伯特弧线的长度是2ⁿ-2⁻ⁿ。（府上图）

随后，在1915年和1916年，波兰数学瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wac?aw Sierpiński）用不断挖孔的式，构造出了谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯。

谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯齐是实简直在的平面图形，然而它们的勒贝格测度却齐等于。也便是说，谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯的“面积”齐为。

这些例子的给出，使得数学们意志到以往对于维数的朴素相识，是有着精深裂缝的。这就催生了包括豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数在内的多种维数的界说式。

豪斯多夫维数由德国数膏火利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）在1918年建议。

豪斯多夫维数的中枢办法，是商量体积随几何体缩放时的变化率。举个例子，当个正形的边长扩大倍或者收缩半时，正形的面积或扩大或者收缩二的平，即四倍或者四分之。而当个立体的边长扩大倍或者收缩半时，立体的体积或扩大或者收缩二的立，即八倍或者八分之。也便是说，维数，正值便是体积缩放比例的指数。

豪斯多夫维数的界说，就体现了访佛的缩放比例的办法。在数学上，测量个几何体的体积，有个直不雅的作念法。那便是用许多半径为r的小球来笼罩这个几何体。接着让这些小球的半径趋近于，况且缱绻小球的数目N(r)乘以单个小球的体积的限就不错得出几何体的体积。

于是，豪斯多夫指出，当小球的半径r趋近于时，N(r)的对数与r的对数的比值的限值，便是这个几何体的体积的缩放比例。也便是所谓的豪斯多夫维数。

按照豪斯多夫维数的界说，皮亚诺弧线与希尔伯特弧线的豪斯多夫维数均为2。谢尔平斯基三角形的豪斯多夫维数为lg3/lg2≈1.5850。而谢尔平斯基地毯的豪斯多夫维数则为lg8/lg3≈1.8928。

闵可夫斯基维数，则由因斯坦的教练，德国数学赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）建议。与豪斯多夫维数顶用小球笼罩几何体缱绻体积的式不同，闵可夫斯基维数的几何体体积的缱绻式是：将空间分红均匀的格，通过缱绻包含几何体的格的数目来缱绻几何体的体积。正因为此，闵可夫斯基维数也被叫作念计盒维数。

豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等成见的建议，大大加了数学们对于体积和维数的相识，并终和普拉托问题（Plateau's problem，即究诘在范围固定时小曲面的存在的问题）等数常识题起，催生了几何测度论这数学分支。

而挂谷集猜想，则是几何测度论中的个中枢问题。

1971年，英国数学罗伊·戴维斯（Roy Davies）评释了，平面上的贝西科维奇集的豪斯谈夫维数和闵可夫斯基维数齐是2。从而处理了二维的挂谷集猜想。

3

三维挂谷集猜想

尽管二维挂谷集猜想获取了处理，然而当维数加多时，挂谷集猜想会变得特殊落魄。本体上，挂谷集猜想的难度如故达到了“出圈”的进程。2016年好意思国大选时代，陶哲轩在个东谈主博客上公开默示，特朗普不适看成念好意思国总统。作为对陶哲轩这言论的酬报，特朗普在个东谈主酬酢媒体上宣称：“陶哲轩是个失败的分析学，他连挂谷集猜想齐评释不出来。”

哪怕是三维挂谷集猜想，数学们也直找不到处理法。尽管陶哲轩以及法国数学、1994年菲尔兹得主让·布尔甘（Jean Bourgain）等东谈主齐究诘过挂谷集猜想，然而长久以来，对于三维挂谷集猜想，数学们只获取了些阶段结果。

在1994年，好意思国数学托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）评释了三维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数齐不小于2.5。五年之后的1999年，内茨·卡茨（Nets Katz）、伊莎贝拉·拉巴（Izabella Laba）和陶哲轩将这结果篡改了百亿分之，即：0.0000000001。也便是说，卡茨、拉巴和陶哲轩评释了：三维挂谷集的闵可夫斯基维数不小于2.5000000001。这亦然虹和扎尔的论文之前，对于三维挂谷集猜想的佳结果。

自2022年起，虹和扎尔和谐，在预印本网站上提交了三篇对于三维挂谷集猜想的论文。

在2022年10月的论文《粘挂谷集和粘挂谷集猜想》（Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture）中，虹和扎尔针对类特别的挂谷集，即粘挂谷集，评释了三维挂谷集猜想。

在2024年1月的论文《三维挂谷集的阿苏德维数》（The Assouad dimension of Kakeya sets in R^3）中，虹和扎尔对种稍弱些的维度，即阿苏德维数，评释了三维挂谷集猜想。即三维挂谷集的阿苏德维数等于三。

终，在2025年的这篇127页的论文当中，虹和扎尔给出了三维挂谷集猜想的无缺评释。

虹和扎尔的这三篇加起来长达234页的“挂谷集猜想三部曲”，无缺地展现了数学们处理问题的惯例历程。

其中，粘挂谷集是1999年卡茨、拉巴和陶哲轩在论文中建议的个成见。况且，粘挂谷集这成见，在陶哲轩他们的评释中起到了很是首要的作用。阿苏德维数则是由法国数学帕特里斯·阿苏德（Patrice Assouad）于1977年，在他的博士论文中建议的种维数。

虹和扎尔的“挂谷集猜想三部曲”则是在充分分解并接收前东谈主职责的基础上，先建议些加强条目来简化需要处理的问题。并在处理简化版问题的过程中，找到处理问题的中枢想路和法。接下来，对比原版问题和简化版问题，找出其中的手艺闭塞和难点，发展出新的法和手艺，用以处理或者绕过这些闭塞和难点，终处理问题。

这也恰是陶哲轩对虹和扎尔的职责给出的评价：“（这篇论文）的论证过程中使用了许多之前文件中的想想，这其中也包括我（陶哲轩）和和谐者的些论文。然而所需的分析和迭代过程很是的复杂小巧，况且需要许多新的想路和办法才得以完成通盘这个词论证过程。” 邮箱：215114768@qq.com相关词条:铁皮保温施工     隔热条设备     锚索    离心玻璃棉    万能胶生产厂家

1.本网站以及本平台支持关于《新广告法》实施的“极限词“用语属“违词”的规定，并在网站的各个栏目、产品主图、详情页等描述中规避“违禁词”。
2.本店欢迎所有用户指出有“违禁词”“广告法”出现的地方，并积极配合修改。
3.凡用户访问本网页，均表示默认详情页的描述，不支持任何以极限化“违禁词”“广告法”为借口理由投诉违反《新广告法》琼中管道保温，以此来变相勒索商家索要赔偿的违法恶意行为。