北京时辰8月9日景德镇铁皮保温厂家，2026基础科学大会(ICBS)在北京雁栖湖会展中心肃穆开幕。普林斯顿大学数学系张寿武教练荣获安德鲁·怀尔斯数学章；他与北京数学推敲中心教练合著的Adelic Line Bundles on Quasi-Projective Varieties (Princeton University Press, 2026)则摘得本届ICBS前沿科学。该文章被收入普林斯顿大学出版社旗下声誉杰出的数学丛书Annals of Mathematics Studies。
围绕这新文章，两位学者接管了本次访。他们总结了阿黛尔线丛表面的发展历程：篇曾被扬弃数年的论文，如何冉冉发展成为套新的表面框架？从初提议、束缚完善，到在算术几何与算术能源系统等域展现价值，这表面背后资格了如何的探索经过？
8月14日上昼，张寿武教练还将在ICBS举办这推敲的相干讲座，具体信息和线上直播地址请见文末。
采访东谈主 | 黄中（科学院数学与系统科学推敲院推敲员）、普林斯顿大学出版社办公室（PUP China）
采访者（黄中）：今天特殊庆幸借普林斯顿大学出版社的机缘促成此次访谈，能够让两位淳厚驾临，先容下二位新的本著Adelic Line Bundles on Quasi-Projective Varieties。再次感谢两位淳厚接管本次采访。
咱们就从 Arakelov Geometry 初始吧。你们能弗成通俗先容下Arakelov Geometry 这个学科主要关爱的问题，它的些主要的想想推敲法，以及它当今数论几何中的些应用？
张寿武：我讲前半部分。Arakelov Geometry用句话来说，即是用几何法，推敲度表面。是以要讲讲，什么叫度表面，什么叫几何法。数学里的度表面，形象地说，是推敲个算术系统，即是数论系统内部的复杂度。比如，个有理数的复杂度——以 1/2 为例——它的复杂度简略即是1傍边，因为分子是1、分母是2，在缱绻机中输入它花不了多永劫辰。再比如 99/100，如果让我给它个复杂度，我会认为是3，因为分子和分母波及三位数字（分子两位、分母三位）。这种复杂度论在缱绻机域照旧数论中，齐是个要害的成见。它早被庸碌应用于解程和求解多样程系统。梗概在毕达哥拉斯时间，东谈主们就利用这种想想讲明根号2不是有理数；其后费马推敲我方的程时提议的所谓“限下落法”，也属于这想路。
但“度”肃穆被索取成个表面是1951年。法国的布尔巴基的创举东谈主之，叫André Weil，被认为是二十世纪伟大数学之。他写了篇文章叫作念《代数簇上头的算术》，内部从新到尾齐在讲度表面。是以至少在50年代，度表面和算术几何内容上是同回事。在改日的二、三十年内部，度表面又和BSD揣度发生了关系。
到了70年代，为了惩办数论内部个大揣度，叫Mordell揣度，前苏联数学Arakelov在他读推敲生的时候，创立了个表面，叫度的几何表面，也叫作念Arakelov表面。到1986年的时候，德国数学Faltings发展了Arakelov表面，并讲明了Mordell揣度。这记号着Arakelov表面肃穆从幕后走到台前。
所谓Arakelov表面，即是把个数在每个地的复杂度——也即是局部复杂度——分裂缱绻出来，再把各个局部表面玄虚起来，酿成举座的度表面。这即是Arakelov表面创赶紧的基本想想。1986年之后，Arakelov表面冉冉从独一少数东谈主掌合手的表面，发展成为算术几何域庸碌接管的法。天然弗成说成为主流，但它照旧肃穆取代了经典的度表面。
继Faltings和Gillet-Soulé开拓般边幅下的Arakelov表面之后，我当今来先容另种想路——Adèle表面。在数论推敲中，个整数有两件事情很要害：是它有多大，二是它的素因子剖释。举例6不错剖释为2乘3。对于整数而言，它的大小和素因子剖释之间的关系比较通俗；但对于分数，情况就不同了。比如99/100，它的大小与1很接近，但它的素因子剖释却是：分子99不错剖释为3*3*11，分母100不错剖释为2*2*5*5。因此，对于99/100来说，它的大小和素因子剖释齐是要害的信息。
Adèle表面的想想，即是把频繁兴致兴致上的大小，与各个素数处的赋值统起来。举例，在2这个地，个数能够被2整除的次数越多，咱们反而认为它越小，这是个反直观的界说。99/100的分母含有2和5，因此在2和5这两个地，它齐被认为是“大数”。总的来说，Adèle表面即是把各个素数处的赋值与阿基米德赋值（即频繁兴致兴致上的大小）统到同个框架之中。
1995年，我为了推敲种度——Néron-Tate heights（由位法国数学和位好意思国数学提议）——意象了点：应该把推敲想路从几何转向分析。此前大作念的使命，是把复杂度移动为几何对象；而Adèle表面的想想，则是把几何从新复返到分析。这么，在处理问题时，阿基米德赋值和非阿基米德赋值便不错用同套言语来调处。这个不雅点是我在1995年提议的，其后很快被用于惩办Bogomolov揣度，也算是这表面的次生效应用。在数学中，个表面是否生效，频频要看它能否惩办经典问题，而它确乎惩办了个经典问题。其后，adelic line bundle表面先在projective variety（射影簇）上得到庸碌，随后又被应用到许多域，举例能源系统。我其后和袁新意、张伟合写的The Gross-Zagier Formula on Shimura Curves书，其中也明诈欺了adelic的想想。
2010年前后，袁新意在Princeton担任assistant professor，而我也接管了Princeton的offer。那时咱们同样时谈到，咱们推敲的是数域上的projective variety，而能源系统推敲的对象则是在复数域上。咱们直在想考，如何把咱们的表面广到那些不是界说在数域上的对象。其后发现，任何这么的系统内容上齐界说在个有限生成域上。许多年后，咱们意象，只需要把这种系统换成个数域上的quasi-projective variety（拟射影簇）。这其实是个特殊天然的广，因为quasi-projective自己即是个庸碌的成见。
到了2020年前后，咱们决定写本书，把这些表面系统地广出来。不久后，袁新意忽然提议需要用到这套表面，咱们才初始谨慎完成这本书。
袁新意：张淳厚可能忘了咱们2010年时候的motivation。张淳厚1995年的阿黛尔线丛界说在数域上的射影簇上，之后和Ullmo用来作念了abelian variety的Bogomolov揣度。然后张淳厚就提了个能源系统的Bogomolov揣度，阿谁揣度影响很远。但是背面有东谈主发现阿谁揣度分歧。黄中可能知谈，Ghioca、Tucker他们造了个反例，说能源系统版块的这个分歧；之前张淳厚他们证的是abelian variety的版块，尔背面这个分歧的是能源系统的版块。张淳厚还健忘了件事，这件事那时对咱们来说照旧有很负面的影响的。但当今看来，可能对读者而言，对年青东谈主而言，反而是个引发的作用。即是张淳厚说的有限生成域这套表面，咱们证出了些很挑升想的东西，然后咱们投稿到杂志，但老是被拒。那是在2010年傍边，咱们写了篇文章，简略50页吧。
张寿武：对，咱们是想把丘成桐的使命，Calabi-Yau，在非阿基米德域，也即是p-adic这个兴致兴致底下写了了。咱们讲明了个Kähler-Einstein度量的唯，但没法讲明存在。咱们我方认为很了不得，铁心别东谈主以为不若何样。这种情况在数学里很常见。
袁新意：确乎，咱们投稿很不顺。咱们先初始投好的杂志，是Annals (Annals of Mathematics) 或Inventiones (Inventiones Mathematicae)，当今记不清是哪个杂志了，铁心被拒了。然后咱们就把文章拆成两部分，差未几每部分又有50页。部分投JAMS (Journal of the American Mathematical Society)，后照旧被拒了，裁剪建议咱们投Math Annalen。是以咱们部分就投了Math Annalen，然后就发表在那里；二部分其实包含了咱们原创的想想，终出版为今天评论的这本书。
张寿武：那二篇文章写的着实是很难解，咱们我方齐不若何懂。那时咱们并莫得领路到这二篇能够写成个表面，但到当今，咱们以为它照旧很灵验。
袁新意：2010年傍边，张淳厚说，咱们就把二篇文章投到个二梯队的杂志吧。于是咱们投了JAG（Journal of Algebraic Geometry），铁心也被拒了。可能裁剪没若何看就拒了，也没给出什么原理。其实也因为咱们写的不了了。咱们界说新的阿黛尔线丛，界说的中枢部分可能写了十几页，但是内容太浓缩了。内部还有些逻辑上不适合的地，咱们我方也不太能够说了了。
被拒了之后，咱们那时很受击。这篇文章其后直扬弃着，仅仅在arXiv上放了个预印本。那时候简略照旧到了2012年。之后咱们既不想投稿，也不想延续修改了。面，从功利的角度来说，咱们花了很狂放气，铁心投稿还被拒，以为很受击；另面，文章修改起来确乎很辛苦，若何改齐以为汉典，咱们我方读起来也以为不天然，于是就直放在那里，莫得再进。
到了2020年，有件事情促使咱们不得不从新把它拿出来。我之前在伯克利带个博士生Alexander Carney，他想作念算术能源系统相干的推敲。简略在2014或2015年前后，在我的建议下，他初始作念与咱们篇文章相干的使命。咱们的篇文章推敲的是数域上的情形，而他作念的是函数域上的情形。函数域相对数域要通俗些景德镇铁皮保温厂家，许多本领和铁心齐不错径直照搬。他基本完成这部单干作后就博士毕业了。博士后期间，他延续作念咱们那二篇的广，即是把数域上的有限生成域上的铁心跳跃改写成几何的有限生成域上的版块，没多久也完成了。
其后他问我，他的二篇文章应该投到那里。我这时才领路到，咱们其实堕入了个很被迫的时事。因为我和张淳厚我方的二篇文章直莫得发表。那篇文章十年前被拒之后，咱们就直搁在那里，莫得再管它。而我的学生照旧基于咱们二篇的使命，作念出了个肖似的函数域版块。如果他的文章要发表，而咱们的使命还莫得肃穆发表，就会很难过。正因为这个原因，我推敲了张淳厚，提议把这篇文章整理出来发表。于是，咱们在时隔十年之后，又从新启动了这个边幅。那时候我照旧回北大使命，简略是2020岁首，巧合疫情期间。
咱们初的想法很通俗，仅仅准备修改文章中的些小失误和不够天然的地，然后浮松投个杂志，把这件事情了结。于是我从新初始读这篇文章，就发现我有些地确乎读不太懂。有些内容不是想想有问题，而是抒发式不够天然。我初仅仅想稍许润下，让文章顺畅，然后投稿了事。关联词其后越来越发现，有些地内容上写得并分歧。天然，举座想想详情莫得问题，但具体写法需要修改。于是我初始点点修改，再和张淳厚接头。
举例，对于Berkovich space的遴荐，昔日咱们内容上反复纠结过许屡次。那时直有两种写法，到底选定哪种，咱们来往修改了好几轮。种写法使用的是个天然、典范的空间，即是over Z的阿谁空间。但阿谁空间特殊大，内部包含了许多咱们认为是株连的点，是不应该出当今那里、会影响举座想路的点。不外，它又确乎是个天然存在的对象。另种写法，则是在每个place上取频繁的Berkovich space，再作念个交并。这么来，那些不要害的点就不存在了，但另面，这种构造又不够天然，穷乏函子。因此，咱们直反复接头，到底应该选定哪种写法。
采访者（黄中）：是以在些要害的本领细节上，亦然资格了很永劫辰的磨。
张寿武：是，要均衡好意思感和实用，这个是很难的件事情。从好意思的角度， 咱们要花许多元气心灵作念些莫得内容用途的内容。
袁新意：我想，就肖似于你找个对象，她即是个举座。如果你只心爱她的那些点，以为她某些裂缝真的倒霉，想把它给切掉。但那她就不是她了，你这么没法跟她相处。
其后，正如张淳厚所说，铁皮保温我倏得领路到，咱们蓝本的界说其实还不错作念些调度。咱们初提议的想想自己是特殊original的，而2010岁首的构想主要来自张淳厚。其后我冉冉领路到，这个想想其实还不错广得广，从有限生成域上的projective variety广到essentially quasi-projective scheme，这个非凡包含了数域上的quasi-projective variety。
再其后，在想考这些丢番图应用的时候，我发现这套想想天然巧合能够坐窝惩办要害的丢番图问题，但至少不错用咱们的这套言语，把许多丢番图问题描摹得加了了。
采访者（黄中）：有莫得具体的例子？
袁新意：具体来说，有两个例子。个是我其后对于Uniform Bogomolov的篇文章。这即是张淳厚初始提到的，我领路到，我和张淳厚开拓的这套表面，应该不错用来处理这个问题。天然，初始仅仅些比较恶浊的想法。这也受到紫阳、Dimitrov、Habegger等东谈主使命的影响。
另个是我直想作念的致有界揣度（Uniform Boundedness Conjecture）。这个揣度说，abelian varieties over number field的torsion points个数存在致上界。这问题的函数域版块近照旧作念出来了，是Yap、Looper，以及紫阳和我的个学生辜开源完成的。
恰是这两个问题促使咱们从新想考蓝本的表面。其后咱们发现，原先的些界说确乎不够天然，于是进行了彭胀，把所有表面开拓得加天然。咱们前边直在提，数学中存在“天然”与“不天然”的区别。有时候，天然的界说反而加复杂、抽象，也辛苦。但咱们恒久认为，天然即是好的。跟着束缚修改，蓝本五十页傍边的文章冉冉变成了八十页，其后又彭胀到百页。写着写着，咱们又发现，不错开拓拟射影簇（quasi-projective variety）上的等散布表面。于是延续写下去，后就酿成了当今这本书。
这本书的主要使命，基本齐是在2020年下半年到2021年上半年这年间完成的。终点于用这年的使命，把2010年那篇五十页、被拒稿的文章，彭胀成了本两百页的著。当今我以为——不知谈张淳厚若何看——这套表面照旧很灵验的。
张寿武：还有件很挑升想的事情。咱们把书写完、挂到网上之后，其实咱们两个东谈主照旧不太了了应该如何处理它。我那时甚而以为，可能没什么用。
其后，哈佛大学位推敲能源系统的教练Laura DeMarco，很快就把咱们的表面用起来了，并讲明了许多相干的定理。这给了咱们很大的饱读励，让咱们以为这套表面终于成为个信得过灵验的表面。毕竟，写本两百多页的书，如果点用途齐莫得，总归不是件善事。内容上，在她之前，能源系统域照旧有东谈主利用咱们的表面讲明了些特殊要害的定理。到了阿谁时候，咱们才以为，这本书应该不错肃穆出版了。不外，这么本书然照旧不相宜发表在期刊上，因为篇幅太长。其后咱们莫得再投期刊，而是径直推敲了Annals of Mathematics Studies。出版社也特殊险恶出版，而且出版速率很快，跟杂志比起来，可能省俭了两年时辰。
袁新意：还有件事情，也阐明这套表面确乎是灵验的。Kühne在作念Uniform Mordell的时候，2021岁首就在arXiv上传了篇文章。他在文章里我方讲明了个等散布定理，并利用这个定理讲明致Mordell揣度。内容上，咱们书里也讲明他阿谁等散布定理的广的边幅，只不外那时咱们的书还莫得上传到arXiv。
我难忘张淳厚那天很兴，电话告诉我，说Kühne 用到了咱们的等散布定理。其后，咱们给Kühne写了封邮件，告诉他咱们也讲明了这个铁心。数学内部直齐有credit的问题，也即是先权问题。咱们告诉他，这个铁心内容上是他立讲明的，咱们亦然立讲明的，因此双齐应该享有先权。仅仅他的使命照旧公开，而咱们的书那时还莫得公开。
张寿武：咱们天然莫得说他的使命有什么问题。仅仅咱们的表面作念得广些，而他的铁心相对莫得那么般，但对于他的应用照旧够用了。如果径直选定咱们书里的表面，其实就不需要再单讲明阿谁等散布定理。
袁新意：咱们终找到了种加天然的法，把后续需要用到的对象齐统界说好，放进个竣工而澄莹的表面框架中。而他那时讲明阿谁等散布定理，主如若为特出到某个具体铁心，因此仅仅针对阿谁铁心单开拓讲明，并莫得放在个大的表面体系之中。
张寿武：还有件事情跟紫阳相推敲。他跟Habegger，Dimitrov作念对于uniform Mordell揣度的时候，有个内容是度不等式。紫阳跟我接头的时候，我以为讲明是对的，但描摹很别扭。我跟他提议它应当是对于个叫作念bigness （大）表面的论。在射影簇上的bigness表面是袁新意2008年的博士毕业论文，是他的成名作。紫阳等处理的空间不是射影簇。是以需要套新的表面。
袁新意：张淳厚给的问题景德镇铁皮保温厂家。
张寿武：其后在拟射影簇的大表面经过咱们从新开拓之后，变得特殊重大，也特殊天然。这是件很要害的事情。
总之，到了2024年，这本书就不错说是水到渠成了。这时候再投稿，就不会再有东谈主认为这是个没用的表面了。是以当今宣传这本书就容易得多，因为照旧不错举出许多例子，阐明这个表面不错应用于多样问题，也照旧取得了许多后果、甚而赢得了些项。如果是在2010年，你问我这个表面有什么用，我那时确乎不知谈。
采访者（PUP China）：是以，那时这本书是径直当作著投稿，莫得先发表成期刊论文，对吗？
张寿武：对，因为篇幅太长了，投著相对保简直。
我以为，作念期刊和著，裁剪的心态是不样的。期刊裁剪靠近的投稿许多，频频是在寻找原理拒稿，因为每年能发表的文章数目有限。裁剪会探究篇幅是否与它的应用价值相匹配。期刊强调即时应用，而不是潜在应用。
而书就不样，出版书还波及利润。只消这本书有潜在应用就有价值，就险恶出版。我以为咱们的书属于二种情况。咱们认为它是对学生和推敲者是灵验的，会给出版社带来些利润。
总之，后出版资本书，是个很好的遴荐。
袁新意：“短”就不“天然”。
采访者（黄中）：除了 Annals of Mathematics Studies，还有些别的丛书类型，比如说Memoirs of the American Mathematical Society等等。
张寿武：对我来说，除了Annals of Mathematics Studies，即是Astérisque。独一这两个我简略会想着要投。
采访者（黄中）：其后照旧遴荐了Annals of Mathematics Studies。
张寿武：因为那些裁剪齐是我共事嘛，也比较熟。他要不心爱，他会个电话告诉我。Nobody likes your book, sorry，那我就算了。天然，我那些共事照旧很 professional 的。
袁新意：我想照旧因为这个丛书系列（Annals of Mathematics Studies，Princeton University Press）是数学内部口碑好的。
张寿武：对。
袁新意：我记起咱们的本书，我和张寿武淳厚、张伟的那本，即是大频繁说的YZZ（The Gross-Zagier Formula on Shimura Curves，Princeton University Press，2012），亦然在这个系列内部。咱们先初始是投到 Annals杂志，然后杂志说咱们的文章太长了，建议咱们出版。
张寿武：因为在此之前，我单写了篇文章了，有百多页，也发在 Annals。我把那篇文章投进去之后，再投两三百页，我以为 Annals 也会以为很乖癖，同个东西若何要投那么多文章。是以我当今想起来，出版是对的。
袁新意：如果从短期功利的角度看，大会认为投顶杂志——咱们叫四大杂志——作用大。
张寿武：但是如果从Education的角度，我以为投了书是好。因为书咱们不错花多的元气心灵，把这个东西写得了了。如果是杂志，它条目篇幅比较短，压缩太多，审稿东谈主会说没写了了。
采访者（黄中）：您二位当作Arakelov Geometry的资，您以为这个表面改日的发展趋势是若何样？还有哪些比较要害的问题值得让咱们跳跃探索？
张寿武：咱们两个探究的问题不样。我多探究几何的问题，他多探究算术的问题，是以简略分红两类。
这个表面主要探究的是 height。对于 height，咱们但愿在 moduli space上，把点的 height 用 line bundle 来界说。咱们书里处理的这些 heights，齐是由 line bundle 界说的。算术几何里比较关爱的大致有两类对象，比如algebraic cycle、algebraic subvariety等。我本东谈主非凡关注的是这些对象的正。用 adelic line bundle 界说的表面有个性格，即是它对正非凡明锐。比拟经典表面，举例 André Weil 的表面，因为它是不 normalized 的，是以对正莫得那么明锐。因此，但凡波及正、何况能够用 line bundle 描摹的问题，咱们这套表面齐特殊实用。至少咫尺，我照旧尝试了两件事情。
件，是我和紫阳把它应用到 family of algebraic cycle上，用来推敲它们的正，果特殊好。它能够结伙 bigness，利用咱们书里的基本表面，对些历久以来莫得得到惩办的 algebraic cycles 问题，给出种描摹。
二件，是我近在想考的个问题。丘成桐邀请我作念个几何分析的施展，我在施展里先容了 Kähler-Einstein metric with adelic metric，并在黑板上阐明如何利用 adelic line bundle 来推敲 polarized variety，或者说 Fano variety 这类纯正代数几何和微分几何的问题。我以为，咱们这套表面不错匡助代数几何和微分几何学从新描摹些问题。这是因为adelic 的表面体系，即是把阿基米德寰宇——也即是频繁界说 metric 的寰宇——和数论学推敲的 p-adic metric 放到同个框架里统处理。我认为，这比单推敲单表面要天然。
我是个很心爱作念梦的东谈主，我有时候会以为，咱们所处理的执行寰宇，也许仅仅所有 adelic 寰宇中的部分。这是个让我特殊推动的想法。是以，当今只消微分几何或代数几何学先容个定理，我就会想：adelic 能弗成作念， 然后再复返微分几何或代数几何？咱们有莫得主见把这些不同的寰宇结伙起来？改日，这即是我的祈望——用adelic想想统代数寰宇和分析寰宇。
袁新意：我关爱的问题，和张淳厚有所不同。张淳厚关注几何，我关注算术，或者说数论。具体地说，即是丢番图程相干的问题。前边张淳厚也提到，Arakelov 几何初提议的动机，即是为了推敲 Mordell 揣度，也即是为了处理丢番图程。我但愿能够利用这套表面，作念出多丢番图几何面的铁心。
咫尺丢番图几何中，我关注的几个问题，个是 ABC 揣度，它也等价于effective Mordell 揣度。它甚而有可能和张淳厚刚才提到的 Kähler-Einstein metric 有定推敲。二个是 Bombieri-Lang 揣度，它不错看作维情形下的 Mordell 揣度。三个，即是前边提到的致有界揣度（Uniform Boundedness Conjecture），也即是数域上阿贝尔簇的 torsion 有理点个数是否存在致上界的问题。
此前，东谈主们讲明的是函数域上的铁心，讲明需要用到函数域上的 Szpiro 揣度。数域的情况要贫乏得多，而数域上 Szpiro 揣度内容上又等价于 ABC 揣度。因此，基本上如果讲明了 ABC 揣度，就不错出致有界揣度。不外，函数域上的 ABC 照旧知谈，而数域上的 ABC 还远远莫得惩办，这是所有丢番图几何中要害的揣度之。天然，望月新提议的阿谁讲明，咫尺咱们仍然不知谈它是否正确。这又是另外回事。
张寿武：两句话总结。他认为这个表面不错惩办老问题。我是以为这个表面不错发现新问题，惩办新问题。
采访者（黄中）：老问题频繁齐是很贫乏，很resistant的。
张寿武：对，因为我这年事大了，老问题我试了许多年，以为搞不动了。今天我以为应该是要发展个新的域。
讲座信息
讲座主题：Adelic Line Bundles: From Canonical Heights to Arithmetic Positivity
讲座时辰：8月14日9:40-10:40（北京时辰）
讲座处所：北京雁栖湖应用数学推敲院A6-101
线上不雅看地址：返朴微信号
讲座节录：
Canonical heights play a fundamental role in arithmetic geometry, from the Mordell–Weil theorem to the Birch–Swinnerton-Dyer conjecture. In 1995, I introduced the notion of adelic line bundles, providing a geometric interpretation of canonical heights as degrees of metrized line bundles over all places of a number field. This viewpoint unifies Archimedean and non-Archimedean geometry and brings analytic methods into arithmetic geometry.
In this lecture, I will explain how adelic line bundles lead naturally to adelic intersection theory, Monge–Ampère measures, and the equidistribution of small points, with applications to the Bogomolov conjecture and arithmetic dynamics. I will then describe recent joint work with Xinyi Yuan that extends the theory to quasi-projective varieties, thereby making it possible to construct canonical adelic metrics on moduli spaces. These developments reveal new positivity phenomena in arithmetic geometry and provide a conceptual framework for studying heights of algebraic cycles and related arithmetic questions.
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