分析学（Analysis），在数学学习中常被视为一道分水岭。它既是大一新生们噩梦般的起点，又是许多数学家真正爱上数学的契机。乍看之下，它似乎只是限、连续与积分的集，却因一个简单而深邃的思想——“任意的接近”——而将直觉与严谨连接起来，成为现代数学根本的语言。
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在这段旅程中，每一次攀升，都是从一个看似熟悉的概念出发，却被入更广阔、更抽象的天地。接下来，我将带你经历七个层次的探索。
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分析，曾是我初的数学挚爱，一切都围绕着一个观念，那就是“任意的接近”。我花了很久时间思考这个“对于任意大于零的 ε”的概念。它抓住了某种其强大的东西，但在初时，它真的很难去理解。事实上，数学家们花了很长时间才精准地把握这一点，并把直觉转化为严格的定义。
一切都围绕着“任意的接近”：数列、限、连续、微分、积分。正是这个观念让你能把这一切做得严谨。
但接着你会意识到，其实这里隐藏着某些东西，那就是“接近”意味着在暗中假设了一种度量距离的方法。作为数学家，你便会问自己：一个函数须具备的小规则集是什么，才能捕捉到一个理的距离概念？
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Level 2
现在，三角不等式是一条公理，你可能仍然在把一切可视化为三维空间中的“球”，直到你遇到像“离散度量”或“p进制度量”这样的例子。这些给出的开球完全颠覆了你脑海中的图像。显然，这套小规则集大拓宽了你思考的情境范围，你开始利用这些来自距离函数的开球结构，来对空间如何与其上的连续函数或数列相互作用施加一定的控制。
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谐音变形法：将"资本"拆解为"次贝本"，转化为贝壳与本子的组图像；"爱情"转化为抱着矮琴的人物场景。此方法在记忆法律条文时，可使记忆速度提升3倍。
但在你逐渐适应处理那些陌生而怪异的情境之后，你会意识到，或者更有可能是有人提醒你，在初的一层次课程中，其实你就已经遇到过一些奇怪的情形，或者一些无法积分却仍然被纳入课程的函数。
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而现在，你会发现自己正处在一门“测度论”的课程里。
从直觉上说，测量实数轴子集的大小似乎显而易见，直到有人指出，你希望有限个互不相交子集的测度之和恰好等于它们的并集的测度。而从直觉上来说，在实数轴上这似乎不成问题——直到你读到这样一种构造：通过把实数按有理数分类并结选择公理，确实可以找到一个有限集，违背了这一质。于是，你不得不重新定义一套规则，以限定哪些子集才允许被认为是“可测的”。
但是，你所定义的这些规则，仍然允许相当复杂的集存在。于是，这又引出了定义一种全新的积分方式——勒贝格积分。这种积分方法能够处理函数在复杂集上的坏行为，管道保温施工而你在一层次学到的黎曼积分却无法做到。
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到了这个阶段，一个事实变得显而易见：函数、它们如何被积分，以及它们的限如何与积分相互作用，这些问题都非常值得研究。而这就需要一种“函数之间的距离”概念，这正引出了“范数”。你还会注意到，你所考虑的那些函数类形成了一个向量空间，因此它们还具有额外的结构。
但是，由于我们人类大脑实在难以直接思考无限维空间，你会从一个较为容易的设定入手——研究带有范数的数列空间，而这些范数与终加在函数上的范数类似。在所有这些空间中，你关心的核心角色就是：相对于范数的完备。然后，你会在大部分课程里花时间证明这样一个事实：完备且线的空间在其结构以及空间之间的映射方面是度优美的。
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邮箱：215114768@qq.com事实上，这一步可能在一层次之后的任何阶段都会出现，但我认为，只有在你接触过各种坏行为的例子之后，你才会真正体会到复分析理论的魅力。
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起初，它似乎只是对“可微”的同一套定义，但很快你就会被灌输：复可微函数是何等“限制强、结构高度受控”。举例来说，如果两个全纯函数在一条小的曲线上相等，那么它们在整个连通域上就须是同一个函数。正是这种“限制”，为你带来了如此多的优美结果。
不过，对我而言，这门课程在本科分析学的学习路径里，多少像是一种“自我放纵的绕行”。然而在之后的学习中，如果你研究黎曼曲面，这门课程终会与几何发生紧密的联系。
当你完成了五层次——完备线函数空间的学习之后，你会想：“这挺好，但谁在乎呢？接下来该往哪走？”
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接下来就是偏微分方程（PDE）与调和分析。
现实世界中的大多数事物，都是由多变量函数来建模的，比如热传导。而经典的求解偏微分方程的方法，往往要求函数满足一些条件，而这些条件很多时候并不为实际解所满足。于是，你就会转向线函数空间。Sobolev 空间是完备空间，它们的范数——即赋予函数“大小”的方式——同时还包含了函数弱导数大小的分量，而弱导数则是把经典导数广到分布的概念。在这样一个完备函数空间中工作，你便能够证明偏微分方程解的存在与唯一。
Level 7
当然，博士阶段的分析学涵盖的内容非常广，但其中一个重要部分，就是把六层次的偏微分方程研究进一步拓展，并研究这些函数空间上线算子的谱理论。你会发展出一整套复杂而精巧的技术与理论，以处理诸如非线偏微分方程之类的问题。
于是，这就是一名分析学研究者的道路。
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